A function cannot be its own argument, because the functional sign already contains the prototype of its own argument and it cannot contain itself. If, for example, we suppose that the function F(fx) could be its own argument, then there would be a proposition “F(F(fx))”, and in this the outer function F and the inner function F must have different meanings; for the inner has the form ϕ(fx), the outer the form ψ(ϕ(fx)). Common to both functions is only the letter “F”, which by itself signifies nothing. This is at once clear, if instead of “F(F(u))” we write “(∃ϕ) : F(ϕu) . ϕu = Fu”. Herewith Russell’s paradox vanishes.
# Analyse von TLP 3.333
Wittgenstein löst hier Russells Paradox der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, durch eine logisch-grammatische Klärung auf. Sein Argument: Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits den "Prototyp" seines Arguments enthält – die Selbstanwendung wäre ein Kategorienfehler, kein sinnvoller Satz.
Bei F(F(fx)) haben die äußere und innere Funktion unterschiedliche logische Formen (ψ(φ(fx)) vs. φ(fx)); nur das Symbol "F" ist identisch, nicht die Bedeutung. Die Verwirrung entsteht durch oberflächliche Zeichenidentität bei tatsächlich verschiedener logischer Struktur.
Dies ist zentral für Wittgensteins Projekt: Scheinprobleme der Philosophie (wie Paradoxien) entstehen durch Verstöße gegen die "logische Syntax der Sprache" (vgl. 3.325), die durch Analyse der logischen Form – nicht durch inhaltliche Lösung – aufgelöst werden. Die Typentheorie Russells wird damit überflüssig, da das Problem bereits durch korrekte Zeichenanalyse verschwindet.
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