A function cannot be its own argument, because the functional sign already contains the prototype of its own argument and it cannot contain itself. If, for example, we suppose that the function F(fx) could be its own argument, then there would be a proposition “F(F(fx))”, and in this the outer function F and the inner function F must have different meanings; for the inner has the form ϕ(fx), the outer the form ψ(ϕ(fx)). Common to both functions is only the letter “F”, which by itself signifies nothing. This is at once clear, if instead of “F(F(u))” we write “(∃ϕ) : F(ϕu) . ϕu = Fu”. Herewith Russell’s paradox vanishes.
# Analyse von TLP 3.333
Wittgenstein löst hier Russells Paradox der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, durch eine logisch-grammatische Klärung auf. Sein Argument: Eine Funktion kann nicht ihr eigenes Argument sein, weil das Funktionszeichen bereits den "Prototyp" seines Arguments enthält – die Selbstanwendung wäre ein Kategorienfehler, kein sinnvoller Satz.
Bei F(F(fx)) haben die äußere und innere Funktion unterschiedliche logische Formen (ψ(φ(fx)) vs. φ(fx)); nur das Symbol "F" ist identisch, nicht die Bedeutung. Die Verwirrung entsteht durch oberflächliche Zeichenidentität bei tatsächlich verschiedener logischer Struktur.
Dies ist zentral für Wittgensteins Projekt: Scheinprobleme der Philosophie (wie Paradoxien) entstehen durch Verstöße gegen die "logische Syntax der Sprache" (vgl. 3.325), die durch Analyse der logischen Form – nicht durch inhaltliche Lösung – aufgelöst werden. Die Typentheorie Russells wird damit überflüssig, da das Problem bereits durch korrekte Zeichenanalyse verschwindet.
Wittgenstein argumentiert, dass eine Funktion nicht ihr eigenes Argument sein kann, weil das Funktionszeichen bereits das Schema („Prototyp“) seines Arguments festlegt. Selbstanwendung („F(F(x))“) wäre nur scheinbar sinnvoll: Das innere F fungiert als Variablenfunktor ϕ, das äußere als ein anderer Funktor ψ; gemeinsam ist bloß der Buchstabe „F“, der für sich nichts bedeutet. In korrekter logischer Syntax („(∃ϕ) F(ϕu) . ϕu = Fu“) verschwindet die Scheinidentität — und mit ihr Russells Paradox. Philosophisch: Paradoxien entspringen Verwechslungen logischer Typen bzw. Formen; sie sind Symptome einer fehlerhaften Symbolisierung. Statt axiomatischen Restriktionen (Russells Typentheorie) verlangt Wittgenstein eine strenge logische Grammatik, die solche Scheinsätze ausschließt. Das ist zentral für den Tractatus: Die logische Form wird gezeigt, nicht gesagt; Philosophie klärt den Gebrauch der Zeichen, damit nur wohlgeformte Sätze mit bestimmter Sinnbedingungen verbleiben.
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