Dies ist das Resümee einer Auseinandersetzung mit Russells ist Gebrauch des „="-Zeichens. Neben dem „= Def"-Zeichen gebraucht Russell „=" noch als Zeichen der Identität, wie bspw. in der folgenden Definition der Identität: „x = y" Def „(f) fx ↔ fy". D.h.: zwei Gegenstände sind identisch, wenn für alle Eigenschaften f gilt: f ist eine Eigenschaft von x, wenn und nur wenn f eine Eigenschaft von y ist. (vgl. Russell (21), S. 57 und 168 (Satz 13.01)). Russell ergänzt hier: „Note that the second sign of equality in the above definition is combined with 'DF', and thus is not roally the same symbol as the sign of equality which is defined." (ebd.)

Das Gleichheitszeichen in Kombination mit „Def" akzeptiert Wittgenstein, das andere nicht. Der Grund:

TLP-5.5303 Beiläufig gesprochen: Von zwei Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein Unsinn, und von Einem zu sagen, es sei identisch mit sich selbst, sagt gar nichts

Die Behauptung der Selbstidentität eines Dinges mit sich selber „sagt gar nichts", weil Selbstidentität - wenn schon eine formale Eigenschaft ist und, als solche jedem Ding sowieso „zukommt". Die Behauptung der Identität zwischen zwei Dingen ist Unsinn, weil zwei Dinge nicht identisch sein können, weil es eben zwei Dinge sind: denn entweder sie sind identisch, dann werden sie durch ein und dasselbe Zeichen ausgedrückt, oder sie sind verschieden, und dann werden sie durch zwei verschiedene Zeichen ausgedrückt (vgl. TLP-5.53) Wittgensteins Einwand gegen Russells Definition von „=" als Identitätszeichen (-relation) in TLP-5.5302 beruht m.E. darauf, dass Russell die - wenn schon - formale Eigenschaft der Identität definiert durch die notwendige und hinreichende Bedingung, dass zwei Gegenstände alle Eigenschaften gemeinsam haben, eine Bedingung, welche jedoch erfahrungsabhängig ist und ein logisches Gesetz kann niemals von Erfahrung abhängen (vgl. TLP-6.1222). Das dürfte m.E. diese sehr kurze Formel ausdrücken: „Selbst wenn dieser Satz (der die Gemeinsamkeit aller Eigenschaften von zwei Gegenständen behauptet) nie richtig ist, hat er doch Sinn" (TLP-5.5302 - die Klammereinfügung ist von mir). Er hat Sinn, weil er ein Satz ist, dessen Wahrheit nicht gewiss ist, sondern erfahrungsabhängig - und ein logischer Satz muss sinnlos, also erfahrungsunabhängig sein.

Konsequenzen: Zahlen können nicht durch Identitätskonstruktionen in die reine Logik integriert werden; aus dem Gebrauch des Gleichheitszeichens für Identität resultieren nur Scheinsätze (vgl. TLP-5.534) und überflüssige Probleme (vgl TLP-5.535); auch die ansonsten bewunderte Russellsche „Theory of descriptions" glaubt Wittgenstein in diesem Punkt kritisieren und revidieren zu müssen (vgl. TLP-5.5321)