FallL (5): „'1' = (def.) 'α [(Ex) & α = y(y = x)]'" - d.h.: „'1' ist die Klasse aller Klassen, welche die Eigenschaft haben, Klasse aller y zu sein, für welche gilt: y = x". Dies ist mit ebenso geringfügigen Änderungen eine Russell'sche Formulierung (Russell (21) , S. 347).

Welche Voraussetzungen sind hier im Spiel? 1: Zahlen werden definiert als Eigenschaften von Klassen und 2 diese Eigenschaften können ihrerseits als Klassen gesehen werden, sodass 2a Zahlen als Klassen von Klassen dargestellt werden können und 2b einer Zahl-Klasse anderen Klassen als Elemente zugeordnet werden können.

Illustriert heißt das: ad 1: „1" ist die Eigenschaft einer Klasse α, nur ein Element zu enthalten: [(Ex) & α = y(y = x)]. Ad 2a: „1" ist dann die Klasse aller Klassen α , welche die fragliche Eigenschaft haben. Ad 2b: eine Klasse α ist Element der Klasse „1", wenn und nur wenn sie die fragliche Eigenschaft hat, also: (α ε 1) ↔ [(Ex) & α = y(y = x)].

„1" und alle Zahlen sind nach Russell (genau wie „Cls" „Rel" etc.) typenmäßig unbestimmt: es gibt so viele Bedeutungen von „1", wie es Typen von „1" gibt: der Typ und die Bedeutung von „1" hangt vom Typ der Klasse α ab, diese wiederum vom Typ der Variable y. Aber nach Maßgabe der betreffenden Typen ist „1", auf diese Weise definiert, ein durchaus sinnvoller Begriff.

Dem kann sich Wittgenstein nicht anschließen:

TLP-6.031 Die Theorie der Klassen ist in der Mathematik überflüssig.

> Dies hängt damit zusammen, dass die Allgemeinheit, welche wir in der Mathematik brauchen, nicht die zufällige ist.

Die Allgemeinheit in der Mathematik ist eine wesentliche und wesentliche Allgemeinheit bzw. wesentliche (d.h. formale) Eigenschaften lassen sich nicht durch Punktionen darstellen, weshalb diese Eigenschaften auch nicht 2ur Bildung von Klassen benützt werden können. Sie „zeigen" sich nur (usw.) - Versuche, sie dennoch in der Sprache der eigentlichen Eigenschaften (d.h. in deren Syntaktik) darzustellen, schlagen fehl: sie sind unsinnig.

Damit wäre der Grund von Wittgensteins Ablehnung der klassentheoretischen Fassung der Mathematik gegeben (dessen Tendenz jener der Ablehnung der Verwechslung von formalen Be griffen überhaupt entspricht). Doch wie erklärt aber Wittgenstein die Zahlen?